2020年度茨城大学工学部編入試験数学解説

1.微分積分

以下の各問に答えよ。

(1) $a$を正の定数とする。関数$f(x) = \log(x + \sqrt{x^2+a} )$の導関数$f'(x)$を求めよ。ただし,対数は自然対数とする。

$$\begin{align} f'(x) &= \left(1 + \sqrt{x^2 + a}’\right) \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a}} \\ &= \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}} \right) \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\end{align}$$

(2) $xy$平面内の領域$D:0 \leq x \leq 1$, $\sqrt{x^2+3} \leq y \leq \sqrt{x^2+8}$における２重積分$\displaystyle \int\int_D \frac{1}{y^2} dxdy$を計算せよ。

$$\begin{align} & \displaystyle \int\int_D \frac{1}{y^2} dxdy \\ &= \displaystyle \int_0^1 \left( \int_{\sqrt{x^2+3}}^{\sqrt{x^2+8}} \frac{1}{y^2} dy \right)dx \\ &= \displaystyle \int_0^1 \left( \left[ -\frac{1}{y} \right]_{\sqrt{x^2+3}}^{\sqrt{x^2+8}} \right)dx \\ &= \displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} – \frac{1}{\sqrt{x^2+8}} \right)dx \\ &= \left[ \log(x + \sqrt{x^2+3} ) – \log(x + \sqrt{x^2+8} ) \right]_0^1 \\ &= \log3 – \log4 – \log\sqrt{3} + \log\sqrt{8} \\ &= \log \frac{3\sqrt{8}}{4\sqrt{3}} \\ &= \log \frac{\sqrt{6}}{2}\end{align}$$

補遺1

a = 1 のとき$f(x) = \sinh^{-1}x$ と表せる。

補遺2

定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$等は $x = \tan\theta$と置換して求めるのが一般的
不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx$ は $x = a\sinh y$と置換して求めるのが一般的

2.線形代数

行列$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -1 & 1 & 3\\ 4 & 4 & -1\\ \end{pmatrix}$について,以下の各問に答えよ。

(1) 行列$A$の固有値を求めよ。

行列$A$の固有値を $\lambda$とすると、行列$A$の固有方程式は以下のようになる。
$$\begin{align}\begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & -3 \\ -1 & 1-\lambda & 3 \\ 4 & 4 & -1-\lambda \\\end{vmatrix} &= 0 \\ \iff (2-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda) &= 0 \\ \unicode{x2234} \lambda = -1, 1, 2 \\\end{align}$$

(2) 行列$A$の各固有値の固有空間を求めよ。ここで,固有値$\lambda$の固有空間とは,$\lambda$の固有ベクトル全体と零ベクロルからなるベクトル空間のことである。

(i) $\lambda = -1$のとき

$$\begin{align} A – \lambda E = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \unicode{x2234} \vec{x} = \left\{ s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \middle| s_1 \in \mathbb{R}, s_1 \neq 0 \right\} \\ \end{align}$$

(ii) $\lambda = 1$のとき

$$\begin{align} A – \lambda E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 4 & 4 & -2 \\ \end{pmatrix} \\ \longrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \unicode{x2234} \vec{x} = \left\{ s_2 \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \middle| s_2 \in \mathbb{R}, s_2 \neq 0 \right\} \end{align}$$ よって求める固有空間は $\left\{ s_2 \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \middle| s_2 \in \mathbb{R}\right\}$

(iii) $\lambda = 2$のとき

$$\begin{align} A – \lambda E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ -1 & -1 & 3 \\ 4 & 4 & -3 \\ \end{pmatrix} \\ \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \unicode{x2234} \vec{x} = \left\{ s_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \middle| s_3 \in \mathbb{R}, s_3 \neq 0 \right\} \end{align}$$ よって求める固有空間は $\left\{ s_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \middle| s_3 \in \mathbb{R}\right\}$

3.微分方程式

$x = x(t)$に関する2つの微分方程式
(i) $\ x”-4tx’+(4t^2-3)= 0$
(ii) $x”-4tx’+(4t^2-3) = 4t^4-11t^2+2$
について,以下の各問に答えよ。ただし,(1),(2)は答えのみを書けばよい。

(1) $x_1(t) = e^{t^2+t}$, $x_2(t) = e^{t^2-t}$はそれぞれ,(i)の解である。(i)の一般解を求めよ

$$\begin{align} x(t) = C_1e^{t^2+t} + C_2e^{t^2-t} \ \ \ (C_1,C_2 \in \mathbb{R}) \end{align}$$

(2) $x_0(t) = t^2$は (ii)の解の1つである。(ii)の一般解を求めよ。

$$\begin{align} x(t) = C_1e^{t^2+t} + C_2e^{t^2-t} + t^2 \ \ \ (C_1,C_2 \in \mathbb{R}) \end{align}$$

(3) 初期条件$x(0) = 0$, $x'(0) = 2$のもとで (ii)の解を求めよ。

(2)より \( x'(t) = C_1(2t+1)e^{t^2+t} + C_2(2t-1)e^{t^2-t} + 2t \\ )これらを用いると、初期条件より $$\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} C_1 + C_2 = 0 \\ C_1 – C_2 = 2 \end{array} \right. \unicode{x2234} \left\{ \begin{array}{l} C_1 = 1 \\ C_2 = -1 \end{array} \right. \end{align}$$ 従って、求める特殊解は $$\begin{align} x(t) = e^{t^2+t} – e^{t^2-t} + t^2 \end{align}$$

4.複素関数

$i$を虚数単位とするとき,以下の各問に答えよ。

(1) $x = \displaystyle \frac{\pi}{6}$ とするとき,複素数 $1-e^{i2x}$を$a+ib$ ($a$,$b$は実数)の形で答え,その絶対値を求めよ。

$$\begin{align} 1-e^{i2x} = 1-e^{\frac{\pi}{3}i} = 1 – \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \\ = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{align}$$ $$\begin{align} \left| \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i \right| = 1 \end{align}$$

(2) 前問(1)で得られた複素数$a+ib$を$re^{ib}$の形で表せ。ただし, $r > 0$, $0\leq \theta \leq 2\pi$ とする。

偏角は$\displaystyle arg\left(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{5}{3}\pi$ であるから, $\displaystyle \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i = e^{\frac{5}{3}\pi i}$

(3) $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で, $1-e^{i2x}$の絶対値が $\sqrt{2}$となるときの $x$を求めよ。

$$\begin{align} & \left| 1-e^{i2x} \right| \\ &= \sqrt{(1-\cos2x)^2 + \sin^22x} \\ &= \sqrt{2-2\cos2x} \end{align}$$ $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\displaystyle \sqrt{2-2\cos2x} = \sqrt{2}$ 満たす$x$ は $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$

よって求める$x$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$